TRANSFORMADA Z: TRANSFORMADA Z

Muchas veces es necesario reducir ecuaciones en diferencias o ecuaciones recursivas con coeficientes constantes, a ecuaciones algebraicas lineales. O en otros casos, como la transformada de Fourier no converge para todas las secuencias; se hace necesario plantear una transformación que cubra una más amplia gama de señales. Es por ello que recurrimos a la tan conocida: transformada Z.

Pero, en sí… ¿Qué es la transformada Z?

Definiremos la transformada zeta para que no se nos olvide…

En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto, en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

Ya que sabemos el concepto, surge una gran incógnita: Y…¿Dónde la puedo aplicar?

Bueno, les cuento, que tiene muchas aplicaciones como son: el análisis y proyecto de circuitos digitales, los Sistemas de Radar o Telecomunicaciones, especialmente los sistemas de control de procesos por computadoras. La transformada Z se utiliza también se utiliza cuando hablamos de procesamiento de imágenes digitales.

Como por ejemplo, los televisores de alta definición y las cámaras digitales.

La transformada Zeta también es una herramienta útil en teoría de control en tiempo discreto, en cambio, una señal en tiempo discreto es una señal definida sólo en valores discretos de tiempo.

En una señal en tiempo discreto, si la amplitud puede adoptar valores en un intervalo continuo, entonces la señal se denomina señal de datos muestreados. Una señal de datos muestreados se puede generar muestreando una señal analógica en valores discretos de tiempo.

Los sistemas de control en tiempo discreto son aquellos sistemas en los cuales una o más de las variables pueden cambiar sólo en valores discretos de tiempo.

Otra pregunta frecuente es: ¿Cómo podemos definir la transformada Z?

La transformada Z de una secuencia en tiempo discreto X[n] se define como:

Donde Z es una variable compleja. Otra notación para la sumatoria es Z(X[n]). Si la secuencia es causal, la transformada Z se convierte en:

Esta transformada se llama unilateral, para distinguirla de la primera definición que toma el nombre de la transformada Z bilateral.

La transformada Z unilateral es de gran utilidad en el análisis de sistemas causales, especificados por ecuaciones en diferencias, con coeficientes constantes y con condiciones iniciales, es decir, aquellos que en su inicio no se encuentran en reposo.